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2018-2019学年高二数学人教A版选修2-3讲义:第一章 1.2 第2课时 排列的应用(*题课) Word版含答案

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第 2 课时 排列的应用(*题课) 数字排列问题 知识点 1 讲一讲 1.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数? (1)六位数且是奇数; (2)个位上的数字不是 5 的六位数; (3)不大于 4 310 的四位数且是偶数. [尝试解答] (1)法一:从特殊位置入手(直接法): 第一步,排个位,从 1,3,5 三个数字中选 1 个,有 A13种排法; 第二步,排十万位,有 A14种排法; 第三步,排其他位,有 A44种排法. 故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有 A13A14A44=288 个数. 法二:从特殊元素入手(直接法): 0 不在两端有 A14种排法; 从 1,3,5 中任选一个排在个位上,有 A13种排法; 其他数字全排列有 A44种排法. 故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有 A14A13A44=288 个数. 法三:①从整体上排除:6 个数字的全排列数为 A66,0,2,4 在个位上的排列数为 3A55, 而 1,3,5 在个位上,0 在十万位上的排列数为 3A44,故符合题意的六位奇数共有 A66-3A55-3A44 =288 个数. ②从局部上排除:1 在个位上的排列有 A55个,其中 0 在十万位上的排列有 A44个,故 1 在个位上的六位奇数有(A55-A44)个,同理,3,5 在个位上的六位奇数也各有(A55-A44)个,因 此符合题意的六位奇数共有 3(A55-A44)=288 个数. (2)法一:(排除法) 6 个数字的全排列有 A66个, 0 在十万位上的排列有 A55个,5 在个位上的排列有 A55个,0 在十万位上且 5 在个位上的 排列有 A44个, 故符合题意的六位数共有 A66-2A55+A44=504 个数. 法二:(直接法) 个位上不排 5,有 A15种排法.但十万位上数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不 同,因此,需分两类: 第一类,当个位上排 0 时,有 A55种排法; 第二类,当个位上不排 0 时,有 A14·A14·A44种排法. 故符合题意的六位数共有 A55+A41·A14·A44=504 个. (3)法一:(直接法) ①当千位上排 1,3 时,有 A12·A13·A24种排法. ②当千位上排 2 时,有 A12·A24种排法. ③当千位上排 4 时,形如 40□□,42□□的各有 A31种排法,形如 41□□的有 A13·A12种 排法,形如 43□□的只有 4 310 和 4 302 这 2 个数. 故共有 A12·A13·A24+A21·A24+2A13+A21·A13+2=110 个符合条件的四位偶数. 法二:(排除法) 四位偶数中:①0 在个位的有 A35个. ②0 在十位和百位的有 A12·A12·A24个. ③不含 0 的有 A12·A34个. 故四位偶数有 A35+A12·A21·A24+A12·A34=156 个. 其中形如 5□□□的有 A13·A24个,形如 45□□的有 A12·A13个,形如 435□的有 A12个,形 如 432□的有 1 个,形如 431□而大于 4310 的只有 4312 这 1 个数,故大于 4 310 的四位偶 数共有 A13·A24+A12·A31+A12+1+1=46 个数,因此符合题意的四位偶数共有 156-46=110 个 数. 错误!(1)数字的排列是一类典型的排列问题,往往涉及排列特殊数,如奇数,被 5 整除 的数等.需要注意以下几个问题: ①首位数字不为 0; ②若所选数字中含有 0,则可先排 0,即“元素分析法”; ③若排列的是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”; ④此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类. (2)对于有限制条件的排列问题,先考虑安排特殊元素(或位置),再安排一般的元素(或 位置),即先特殊后一般,此方法为直接分步法;也可以按特殊元素当选情况(或特殊位置元 素的情况)分类,再安排一般的元素(或位置),即先分类后分步,此方法为直接分类法;还可 以先不考虑特殊元素(或位置),而求出所有元素的全排列数,再从中减去不满足特殊元素(或 位置)要求的排列数.即先全体后排除,此方法为间接法(排除法). 练一练 1.用 0,1,2,…,9 十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数: (1)五位奇数; (2)大于 30 000 的五位偶数. 解:(1)要得到五位奇数,末位应从 1,3,5,7,9 五个数字中取,有 5 种取法,取定末位数 字后,首位就有除这个数字和 0 之外的 8 种不同取法.首末两位取定后,十个数字还有八个 数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取,共有 A38种不同的排列方法.因此由分步 乘法计数原理得共有 5×8×A38=13 440 个没有重复数字的五位奇数. (2)要得偶数,末位应从 0,2,4,6,8 中选取,而要得比 30 000 大的五位偶数,可分两类: ①末位数字从 0,2 中选取,则首位可取 3,4,5,6,7,8,9 中任一个,共 7 种选取方法,其余 三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取,共 A38种取法.所以共有 2×7×A38种不同情况. ②末位数字从 4,6,8 中选取,则首位应从 3,4,5,6,7,8,9 中除去末位数字的六个数字中选取, 其余三个数位仍有 A38种取法,所以共有 3×6×A38种不同的情况. 由分类加法计数原理,比 30 000 大的无重复数字的五位偶数共有 2×7×A83+3×6×A38 =10 752(个). 排队问题 知识点 2 讲一讲 2.3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队拍照,求不同的排队方案的方法种数. (1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (2)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (3)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (4)全体站成一排



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